Die Exponentialfunktion Kap.6.3 - Aufgaben zu exponentiellem Wachstum und Zerfall

Bei allen Aufgaben wird exponentielles Wachstum bzw. exponentieller Zerfall vorausgesetzt - sofern nichts anderes in der Aufgabe steht.

1.Aufgabe
a) Auf welchen Betrag wächst ein Waldbestand von 45 000m3 bei einem jährlichen Zuwachs von 8% in 10 Jahren an?
b) Berechne die Wachstumskonstante k!
c) Wie groß ist die Verdopplungszeit ?
Lösung Aufgabe 1
2.Aufgabe
Eine Nährlösung enthält pro cm3 30 000 Keime. Nach Zugabe eines Desinfektionsmittels entält die Lösung nach 2 Stunden noch 25 000 Keime.
a) Gib die Zerfallskonstante k an! - Stelle die Zerfallsgleichung auf!
b) Gib die prozentuale Änderung p pro Stunde an. - Stelle die entsprechende Gleichung auf!
c) Wie viele Keime enthält die Lösung nach 5 Stunden?
d) Wann enthält die Lösung genau halb so viele Keime pro cm3 wie zu Beginn (Halbwertszeit) ?
Lösung Aufgabe2

3.Aufgabe
Eine Bakterienkultur wächst exponentiell in 1 Stunde von 1100 Keimen auf 1250 Keime an.
a) Berechne die Wachstumskonstante k und die prozentuale Änderung p pro Stunde!
b) Stelle die entsprechenden Wachstumsgleichungen auf!
c) Nach welcher Zeit hat sich die Zahl der Keime verdoppelt?
d) Nach welcher Zeit hat die Kultur 11 000 Keime?
Lösung Aufgabe 3
4.Aufgabe
Die folgende Tabelle zeigt das Bevölkerungswachstum einer Großstadt ( Einheit: 1000 E.):
Jahr 1940 1950 1960 1970
E-Anzahl in T. 700 980 1350 1870

a) Prüfe, ob es sich um exponentielles Wachstum handelt!
b) Falls es sich um exponentielles Wachstum handelt, stelle die Wachstumsfunktion auf!
c) Unter der Voraussetzung, dass exponentielles Wachstum vorliegt:
Wie viele Einwohner hatte die Stadt im Jahr 2000, wird sie im Jahr 2020 haben?
Lösung Aufgabe 4
5.Aufgabe
Zur Untersuchung der Langzeitwirkung eines Medikamentes wird einer Versuchsperson eine Dosis von 70mg verabreicht. Danach wird täglich die Konzentration des Medikamentenwirkstoffes im Blut gemessen.
Zeit in Tagen 0 1 2 3 4
Konzentration in mg/L 10,00 7,20 5,18 3,72 2,68

a) Zeige, dass die Wirkstoffkonzentration exponentiell zurückgeht!
b) Bestimme die Zerfallskonstante k!
c) Bestimme die Halbwertszeit!
d) Wann sinkt die Konzentration erstmals unter 0,4 mg/L?
Lösung Aufgabe 5
6.Aufgabe
Von Cäsium 137 zerfallen innerhalb eines Jahres etwa 2,3% seiner Masse.
a) Stelle die Zerfallsfunktion auf!
b) Wieviel Prozent des beim Reaktorunfall in Tschernobyl 1986 ausgetretenen Cäsiums sind noch vorhanden?
c) Bestimme die Halbwertszeit von Cäsium 137 !
Lösung Aufgabe 6
7.Aufgabe
Eine Untersuchung über das Risiko von ehemaligen Rauchern, an Lungenkrebs zu erkranken, liefert folgende Werte:
Jahre seit beenden des Rauchens 0 2 4 6 8 10 12
Risiko zu erkranken in % 40 32 23 18 14 10 7
a) Zeige, dass das Risiko exponentiell abnimmt!
b) Stelle die Risiko-Zerfallsfunktion auf!
c) Wie groß ist das Risiko für einen ehemaligen Raucher, der vor 25 Jahren mit dem Rauchen aufgehört hat?
d) Das Risiko für einen Nichtraucher zu erkranken beträgt 1%. Nach welchem Zeitraum ist das Risiko des ehemaligen Rauchers auf diesen Wert zurückgegangen?
e) Vergleiche das Risiko eines ehemaligen Rauchers, der vor 40 Jahren mit Rauchen aufgehöhrt hat, mit dem eines Nichtrauchers. Interpretiere das Ergebnis!
Lösung Aufgabe 7
8.Aufgabe
Ein PKW verliert pro Jahr ( etwa ) 20% seines Wertes.
a) Stelle die Preiszerfallsfunktion auf!
b) Wann hat er nur noch die Hälfte seines Wertes?
c) Zu welchem Zinssatz müsste ein Kapital angelegt werden, das sich in der gleichen Zeit verdoppelt?
Lösung Aufgabe 8
9.Aufgabe
In Meerwasser nimmt die Lichtintensität pro Meter Wassertiefe auf 1/4 des ursprünglichen Wertes ab.
a) Wie viel Prozent der ursprünglichen Intensität sind in 1m, 2m, 10m Wassertiefe noch vorhanden?
b) In welcher Wassertiefe sind noch 50%, 10%, 1% der ursprüngliche Intensität erhalten?
Lösung Aufgabe 9
10.Aufgabe
In einer Stadt verbreitet sich ein Gerücht. Die Zahl der Personen, die davon gehört haben, nimmt pro Woche um 15% zu.
Wie lange dauert es, bis alle Bewohner der Stadt ( Weinheim = 40 000; Heidelberg = 130 000) davon gehört haben?
Lösung Aufgabe 10
11.Aufgabe
Der Wirkstoff einer Tablette wird im menschlichen Körper exponentiell abgebaut. Unmittelbar nach der Einnahme befinden sich 0,8g des Wirkstoffs im Körper, nach 10 Stunden noch 0,04g.
a) Stelle die Zerfallsfunktion auf!
b) Wie groß ist die Halbwertszeit?
c) Ein Patient bekommt verordnet:
Um 8:00 Uhr 1 Tablette, um 14:00 Uhr 2 Tabletten , um 20:00 Uhr 1 Tablette.
Wie viel Wirkstoff hat er am nächsten Morgen um 8:00 vor Einnahme der Tablette noch im Körper?
Lösung Aufgabe 11
12.Aufgabe
Heißer Kaffee von 50C kühlt sich in einer Tasse langsam auf Umgebungstemperatur (18C) ab. Der Temperaturabfall wird durch folgende Funktion beschrieben: f(t) = 50 e-0,03t ( t in Minuten ).
a) Nach wie vielen Minuten ist der Kaffee auf Körpertemperatur (37C) abgekühlt?
b) Wie hoch ist die prozentuale Temperaturänderung (pro Minute) ?
c) Geben Sie damit die Gleichung für den Temperaturabfall an !
Lösung Aufgabe 12
13.Aufgabe
Auf dem Gebiet des heutigen Bangladesch lebten 1921 33 Millionen Menschen, 1976 waren es 75 Millionen.
a) Wie viele werden es 2020 sein (bei gleichbleibenden exponentiellen Wachstum) ?
b) Wie hoch ist die jährliche prozentuale Zuwachsrate p?
c) Berechne dieVerdopplungszeit der Bevölkerung!
d) Berechne die Bevölkerungszahl nach 46,436 Jahren, 92,872 Jahren, 139,308 Jahren!
Lösung Aufgabe 13
14.Aufgabe
Für ein radioaktives Element gilt folgendes Zerfallsgesetz ( t in Minuten ): N(t) = No e-0,322 t
N(t) ist dabei die Anzahl der zum Zeitpunkt t noch NICHT zerfallenen Teilchen.
a) Berechne die prozentuale Zerfallsrate pro Minute!
b) Wie groß ist die Halbwertszeit ?
c) Wie viele Teilchen sind nach 3,105 Minuten zerfallen?
d) Wann sind 90% der Teilchen zerfallen?
Lösung Aufgabe 14
15.Aufgabe
1950 schätzte man die Weltbevölkerung auf 2,2 Mrd. Menschen, 1985 auf 4,6 Mrd. .
a) Stelle die Wachstumsgleichung auf!
b) Überprüfe bzw. verbessere die Gleichung : 1998 gab es 6 Mrd. Menschen auf der Erde.
c) Welche Bevölkerungszahl ergibt sich dann für das Jahr 2020 ?
d) Welche Bevölkerungszahl ergibt sich für das Jahr 0 ?
e) Wie groß ist die jährliche Zuwachsrate ?
f) In welchem Jahr erreichte die Bevölkerungszahl 1 Mrd.?
g) Wie hoch ist die Verdopplungszeit?
Lösung Aufgabe 15
16.Aufgabe
Wie oft muss man einen 1mm dicken Karton falten, bis der gefaltete Karton sich bis zum Mond ( ca. 380 000 km) stapelt ?
(Nach A. Beutelspacher)
Lösung Aufgabe 16
17.Aufgabe
Der Spannungsverlauf ( = Restspannung) bei der Entladung eines Kondensators wird beschrieben durch:
U(t) = Uo e-t/T
Dabei ist T eine Konstante, die vom Kondensator bzw. Stromkreis abhängt.
( T = R*C, wobei R der Ohmsche Widerstand des Stromkreises und C die Kapazität des Kondensators ist.)
a) Bestimme die Spannung nach t = T Sekunden!
b) Bestimme die Zeit t, nach der die Spannung um 99% abgefallen ist!
Lösung Aufgabe 17
18.Aufgabe
Die Intensität einer Gamma-Strahlung wird durch eine Schutzwand von 10 cm Dicke um 20% reduziert.
a) Wie groß ist die Intensität dieser Strahlung hinter einer Wand aus gleichem Material von 50cm Dicke?
b) Wie dick muss die Wand (gleiches Material) gemacht werden, damit nur noch 10% der ursprünglichen Intensität vorhanden ist?
Lösung Aufgabe 18
19.Aufgabe
Ein radioaktives Element hat eine Halbwertszeit von 87 Jahren.
a) Bestimme die Zerfallskonstante k ! - Stelle die Zerfallsgleichung auf!
b) Um wieviel Prozent nimmt die Zahl der Teilchen pro Jahr ab?
c) Wie viele Jahre dauert es, bis 99% der Teilchen zerfallen sind?
Lösung Aufgabe 19
20.Aufgabe
Für eine Altersbestimmung von organischem Material verwendet man die Tatsache, dass die Luft schon immer einen konstanten Anteil des radioaktiven Kohlenstoffisotops C14 enthielt. Über die Atmung wird dieses in den lebenden Organismus aufgenommen. Deshalb finden in lebender Materie dauernd ca. 16 000 C14-Zerfälle je Minute und Kg organischen Gewebes statt. Wenn bei Eintritt des Todes die Atmung aufhört, werden der toten Materie keine neuen C14 - Isotope mehr zugeführt. Der Anteil des radioaktiven C14-Isotopes im toten Gewebe nimmt deshalb durch Zerfall dauernd weiter ab, die Anzahl der Zerfälle geht zurück.
C14 hat eine Halbwertszeit von 5730 Jahren.
a) Berechne die Zerfallskonstante
b) Wie viele C14-Isotope müssen in 1Kg lebender Materie vorhanden sein, damit 16 000 Zerfälle pro Minute stattfinden?
Stelle die Zerfallsgleichung für C14 auf!
c) Messungen an der Mumie Tut-Ench-Amuns ergaben 1985, dass etwa 10720 Zerfälle pro Minute und Kg stattfanden. In welchem Jahr starb Tut-Ench-Amun?
Lösung Aufgabe 20
21.Aufgabe
Bei einer Untersuchung des Turiner Grabtuches stellte man eine Aktivität von 13,84 C14-Zerfällen pro Gramm Kohlenstoff und Minute fest.
Wie alt ist das Tuch, wenn noch lebendes Material eine Aktivität von 15,30 Zerfällen pro Gramm C und Minute besitzt ?
Die Zerfallsfunktion für C14: z(t) = z0 e-1,2097 * 10-4t, wobei t in Jahren und z(t) die Anzahl der Zerfälle angibt!
Lösung Aufgabe 21
22.Aufgabe
1991 wurde in den Alpen die Gletschermumie "Ötzi" gefunden. Sie enthielt noch 53,3% des C14-Isotops, das in lebendem Gewebe vorhanden ist.
Wann starb "Ötzi"?

Hinweis:
Die Zerfallsgleichung von C14: N(t) = No e-1,2097 *10-4 t, t in Jahren
N(t) gibt die Anzahl der zum Zeitpunkt t noch NICHT zerfallenen C14-Teilchen an!
Lösung Aufgabe 22

Projekt:
Untersuche, ob der Schaum in einem (gut gefüllten!) Bierglas exponentiell abnimmt - von alleine!
Untersuche dabei auch die Einflüsse von Biersorte / -marke, Temperatur, Gefäß, Spülmittel-, Spülwasserresten usw.