Entfernungsmessung mit Winkeln

Inhaltsverzeichnis:

Entfernungsmessung mit Winkeln. 1

1 Winkel  in der Astronomie. 1

2 Parallaxe. 2

3 Radius der Erde. 3

4 Winkeldurchmesser des Mondes. 4

5 Entfernung des Mondes. 5

6 Wie weit kann man mit einem Teleskop sehen?. 6

7 Entfernung der Sonne. 7

8 Entfernungen naher Sterne. 7

zu 1) Lösungsvorschläge zu „Winkel“. 9

zu 2) Lösungsvorschläge zu „Parallaxe. 10

zu 4) Lösungsvorschläge zu „Winkeldurchmesser des Mondes“. 10

 

1 Winkel  in der Astronomie

a)      In der Astronomie werden folgende drei verschiedene Maße von Winkeln benutzt.
Vollwinkel = 360° = 24 h = 2π


mit den Unterteilungen:

1h = 60 min = 3600 s

1° = 60’ (Bogenminuten) = 3600’’ (Bogensekunden)



 

b)      Umrechnungen

90° = 6 h = π/2     (ein Viertelkreis)

Für schnelle Umrechnungen sollte man sich merken:

1h=15°,      1min=15’,      1 s = 15’’ oder
        

Merke Dir vor allem:  - sowohl der Zähler als auch der Nenner ist ja der Vollwinkel. Damit kann jede Größe so mit 1 multipliziert werden, dass sich die nicht gewünschten Einheiten kürzen und die gewünschte stehen bleibt.

Dies geht auch bei Umwandlungen von Rad in Deg:

c)      Übungsaufgaben: Wandle um (in h bzw. in °):

i) 2,5°,   ii) 17,3°,   iii) 25‘,   iv) 5°25‘,   v)5‘‘,   vi) 17°47’24‘‘
vii)
3h,  viii) 3,4h,   ix) 37 min,   x) 17s,   xi) 0,456 min, xii) 4 s,  xiii) 0,045s,
xiv)
17h:4min,    xv) 3h:17min:27s

 

 

2 Parallaxe

a)      Wenn ein Gegenstand so gedreht ist, dass man auf seine Mitte senkrecht blickt, so deckt er den größtmöglichen Winkelbereich ab. (Dreht man ihn aus dieser Stellung heraus, so erkennt man sofort, dass der Winkel zwischen den Randstrahlen kleiner wird)


b)      Für den Winkel γ bei C gilt dann: Der Tangens des halben Winkels lässt sich wie folgt berechnen:  Damit ergibt sich: .

c)      Der Winkel γ ist die Parallaxe der Basis d = AB. 
Anders ausgedrückt: Die Parallaxe ist der Winkel zwischen zwei Geraden, die von verschiedenen Standorten („Basislinie“) auf einen Punkt (ein Objekt) gerichtet sind. Sie ist auch der Winkel, unter dem diese Basislinie vom beobachteten Punkt aus erscheint.

d)     Ist γ der Winkel zwischen den Randstrahlen des Gegenstandes der Basis d, und s der Abstand des Gegenstandes (=Entfernung des Auges bis zur Mitte des Gegenstandes) von der Basis, so gilt laut b:
 (genaue Formel für die Parallaxe)
Ist γ klein, so kann man folgende Näherungsformel verwenden:
 (γ im Bogenmaß) (Näherungsformel für die Parallaxe, weit weg)
bzw. (wenn γ in Grad oder Minuten, Sekunden gemessen wird)
Denn falls der γ Winkel klein ist, ist d ungefähr so groß wie der Bogen des Kreises um C, so dass das Bogenmaß des Winkels d/s ist, dies ist dann näherungsweise der Tangens des Winkels
.

e)      Betrachtet man einen Finger der vor den Augen ausgestreckten Hand abwechselnd mit dem linken und dem rechten Auge, wobei man das andere jeweils schließt, so sieht man, dass der Finger vor dem Hintergrund springt. Die Basis dieser Parallaxe ist der Augenabstand (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Daumensprung )



f)       Diese Parallaxe des Augenabstands wird vom menschlichen Gehirn dazu verwendet, um dreidimensional zu sehen, siehe etwa http://de.wikipedia.org/wiki/Stereoskopie. Heute wird dies bei den unterschiedlichen 3-D-Brillen eingesetzt.
Beim einfachsten Verfahren wird ein Rot- und ein Blaubild überlagert. Wenn man dieses überlagerte Bild mit einer Rot-Blaubrille betrachtet, sieht jedes Auge nur ein Bild. Das Gehirn bestimmt aus den unterschiedlichen Bildern die dreidimensionale Struktur des Gegenstandes,
siehe http://www.gzg-fn.de/inform/Java/Applets04/Welt3D01/Welt3D01.htm (Erklärung des Programms)
Beim modernen Verfahren werden dem Benutzer zwei Bilder angeboten, die zirkular polarisiert sind. Setzt er eine Brille auf, deren eines Glas nur links- und deren anderes Glas nur rechtspolarisierte Strahlen durchlässt, so sieht er dreidimensional.

g)      Aufgabe: Bestimme mit der genauen Parallaxenformel und mit der Näherungsformel (siehe oben bei d) jeweils die Parallaxe, die ein Mensch (1,70m) in 100 m Entfernung bildet.

h)      Aufgabe: Bestimme die Parallaxe eines Menschen in 10 km Entfernung, eines Hauses über dem Bodensee, d.h. eines Gegenstand der Größe 30 m in 15 km Entfernung.

i)        Aufgabe: Wie weit ist ein Gegenstand der Größe 10 m entfernt, wenn er unter einem Winkel von 1’ erscheint?

j)        Die Winkelauflösung des Auges beträgt 2’ (Bogenminuten) .. 20’’ (Bogensekunden). (in der Dunkelheit hat das Auge 7 mm Durchmesser Öffnungsdurchmesser)
Aufgabe: Wie weit darf damit ein Gegenstand von 1 mm Durchmesser entfernt sein, dass man seine Grenzen noch getrennt wahrgenommen werden können.

k)      Die Winkelauflösung eines Amateurteleskop ist etwa 0,5’’ (Öffnungsdurchmesser 25 cm)
Die Winkelauflösung des VLT (8m-Spiegel) ist 0,015’’ (15 Millibogensekunden)
Aufgabe: In welcher Entfernung kann man mit dem VLT-Spiegel einen Menschen sehen?
Aufgabe: Wie groß muss ein Gegenstand sein, den man mit dem VLT-Teleskop auf dem Mond in 384 400 km Entfernung erkennen kann?

 

3 Radius der Erde

a)      Eratosthenes (um 250 v. Chr.) war einer der ersten, die den Erdradius bestimmt haben. Er beobachtete, dass etwa am 21.Juni die Sonne sich in einem tiefen Brunnen in Συήνη (Syène), dem heutigen Assuan ohne spiegelt. Das geht nur, wenn die Sonne senkrecht in den tiefen Brunnen scheint. In Alexandria warf ein Stab zur selben Zeit aber einen Schatten. Eratosthenes ging davon aus, dass die Sonne sehr weit von der Erde entfernt ist, dass also alle Lichtstrahlen, die von ihr ausgehend die Erde treffen, näherungsweise parallel sind.
Er nahm nun weiter an, dass die Erde eine Kugel ist, die Strecke zwischen Syene und Alexandria ein Großkreis ist und bestimmte damit den Erdradius

b)      Er nahm an, dass die Erde eine Kugel, die Strecke zwischen Syene und Alexandria also ein Großkreis ist, und bestimmte damit den Erdradius wie folgt:
Die drei Winkel α, β und γ (sierhe Skizze unten) sind gleich groß. Den Winkel γ bestimmte er mit Hilfe des Schattens:  zu rund 1/50 Vollwinkel, die Entfernung zwischen Syene und Alexandria musste also 1/50 des Erdumfangs betragen. Seiner Meinung nach war die Entfernung zwischen Syene und Alexandria rund 5000 Stadien. Damit ergab sich der Erdumfang zu 250 000 Stadien. Setzt man für die Länge eines Stadions 157 m, so ergibt sich als Erdumfang 39 250 km.


(siehe z.B. http://www.wernerpieper.de/schmath/erl_erat.htm#verfahrenera )

 

4 Winkeldurchmesser des Mondes

a)      Arbeitsmaterial: Auge, Lineal, Meterstab, evtl. ein Gehilfe.
Schließe ein Auge und betrachte mit dem anderen den Vollmond. Halte ein Lineal in Deiner ausgestreckten Hand und bestimme damit den Durchmesser des Mondes. Notiere Dir den scheinbaren Durchmesser dMondHand = ………. (der Durchmesser des Mondes auf Deinem Lineal). Miss nun den Abstand Deiner Hand von Deinem Auge, aHand = ……

b)      Zeichne Dein Auge, Deine Hand maßstabgsgetreu, evtl um den Faktor 5 verkleinert mit dem Lineal ins Heft - und in einiger Entfernung auch den Mond. Verbinde die beiden Lichtstrahlen, die vom Mond ausgehend über das Lineal in Dein Auge fallen (siehe Skizze unten)

 

c)      Miß den Winkel γ, den die beiden Lichtstrahlen bilden, die in Dein Auge fallen. Ergebnis: αMond = …….

Du kannst aus dMondHand und aHand den Winkel γ auch berechnen. Wenn Du den Maßstab symmetrisch vor Dein Auge gehalten hast, so können wir annehmen, dass die Winkelhalbierende zumindest näherungsweise mit der Höhe zusammenfällt, d.h. senkrecht auf dem Lineal steht.

d)     Stelle mit Hilfe des Strahlensatzes eine Formel auf, die einen Zusammenhang zwischen dem Winkel γ, dem Monddurchmesser dMond und der Entfernung des Mondes aMond beschreibt.

e)      Damit kannst Du den Monddurchmesser bestimmen, wenn Du weißt (siehe nächstes Kapitel), dass der Mond 380 000 km von uns entfernt ist.
Es ergibt sich damit dMond = ………………………

 

5 Entfernung des Mondes

a)      Der Abstand des Mondes ist die Entfernung des Mondmittelpunktes zum Mittelpunkt der Erde.

b)      Am 28.4.2010 hat das GZG zusammen mit der Schule „Alexander-von-Humbold-Schule“ (Homepage der Schule) in Ulaanbaatar (siehe), der Hauptstadt der Mongolei, ein Projekt zur Bestimmung der Entfernung des Mondes durchgeführt.

c)      Wenn wir den Mond von zwei Punkten aus betrachten, deren Verbindungsgerade (näherungsweise) senkrecht zur Verbindungsstrecke der beiden Mittelpunkte ist, so erhalten wir einen Parallaxenwinkel α, d.h. wenn man den Mond in FN betrachtet, steht er vor bei anderen Sternen wie wenn man ihn von Ulaanbaatar aus anschaut.

d)     Mit Stellarium kann man dies einfach simulieren. Man kopiert einfach einen Ausschnitt des Himmels in Friedrichshafen und einen aus Ulaanbaatar, bei zur selben Zeit aufgenommen. Der Mond springt im Vergleich zum Sternenhintergrund um etwa ein Grad, das ist der  doppelte Monddurchmesser.
Links ist der Mond in Ulaan, rechts der in Friedrichshafen

  

Allerdings ist die Parallaxe nicht einfach zu erkennen. Der Himmel in Ulaan ist im Vergelcih zum Himmel in Friedrichshafen gedreht, die Erde ist ja eine Kugel und das Himmelszelt steht über den Tangentialebenen in den Beobachtungspunkten.

Deshalb haben wir die Bilder mit Photoshop gedreht, in der Größe angepasst und überlagert, so dass die Sterne ungefähr zur Deckung kamen. Beim Ergebnis sieht man die Parallaxe viel deutlicher:

 

Der Mond rechts oben ist der von Ulaan, siehe rechtes Bild weiter oben. Der Mond links unten ist der aus Friedrichshafen, siehe Bilder weiter oben links.

Man erkennt, dass zwischen die beiden Monde etwa ein weiterer Mond passt, d.h. der Mondabstand ist etwa ein Grad = 2 Monddurchmesser.

e)      Das Vorgehen, um die Entfernung des Mondes damit zu bestimmen, ist vom Prinzip her recht einfach: Fotografiere den Mond in Ulaanbatar und in Friedrichshafen etwa zur selben Zeit, überlagere die Fotos bestimme mit dem Monddurchmesser als Vergleichsmaßstab die Parallaxe des Mondes und damit dann den Abstand des Mondes.

f)       In der Praxis gibt es hierbei vor allem bei den Fotos ein paar Probleme: Wenn man den Mond korrekt fotografieren möchte, so sollte wie bei Tag belichtet werden: etwa Blende 11, Zeit 1/60s. Der Mond steht ja im hellen Sonnenlicht.
Damit man die Sterne sieht, muss man viel länger belichten. Etwa 5 s bei Blende 5/6. Macht man dies, so überstrahlt der Mond stark, er wird größer.
Außerdem muss ein relativ großes Gebiet des Himmels aufgenommen werden, damit man mindestens drei helle Stern in einem Dreieck hat, die man zum Überlagern der Fotos benötigt. Der Mond wird dann sehr klein.

g)      Freiwillige Übung (schwerer): Schaue mit Stellarium den Mond in FN am 3.10.15 gegen 2:00 in der Nacht und in Cape Town zur selben Zeit an. Schneide mit mit FastStone Capture zwei Bereiche ausschneiden, die den Aldebaran im Stier, Beteigeuze und die Gürtelsterne im Orion enthalten. Überlagere die Bilder (z.B. mit Photoshop oder Gimp) und drehe sie so, dass die hellen Sterne zur Deckung kommen (dies ist keinesfalls einfach!), so erhältst Du etwa folgende „Fotos“:
FN_151003.jpg / Capetown_151003.jpg und die Überlagerung FNCapeTown_151003.jpg
Günstiger (auch wenn die Parallaxe kleiner ist), ist evtl der Mond in Fn am 2.5.15 um 2:30 und am Äquator auf der Länge von FN – der Mond steht dann ganz dicht bei den drei Gürtelsternen des Orion, man kann den FOV recht kleine wählen und der Mond wird dann groß und wird in Stellarium nicht überstrahlt dargestellt, sondern mit Strukturen. Die „Fotos“ sind:
MondFN20150502_02_30.jpg / MondAeq20150502_02_30.jpg und die Überlagerung MondÜberlagert20150502_02_30.jpg

 

6 Wie weit kann man mit einem Teleskop sehen?

(Siehe http://www.astro.uni-bonn.de/~deboer/teleskope/teleskope.html)

a)      Diese Frage "Wie weit sieht man mit dem Teleskop?" erfordert eine ähnliche Antwort wie die Frage "wie weit sehen wir mit unseren Augen?".
Sie sehen das Haus dort, und wenn Sie auf einer Anhöhe stehen und es ist klar, auch den Hügel in 50 km Entfernung. Sie sehen Flugzeuge in 10 km Höhe und Sie sehen auch den Mond und die Sonne. Und den nächsten Stern in etwa 1 pc Entfernung (1 parsec entspricht etwa 3,2 Lichtjahren = ). Die leuchtkräftigsten Sterne sehen Sie bis zu 5 kpc (kiloparsec) oder bis 1/6 der Durchmesser unserer Galaxis. Auch können Sie am Südhimmel die Magellanschen Wolken sehen, zwei Begleitgalaxien zu der unsrigen, in 50 kpc Entfernung. Alles nur mit den bloßen Augen. Aber eine leuchtende Glühbirne auf dem Neumond würden Sie nicht sehen. Es ist alles eine Frage der von den Objekten abgestrahlten Lichtmenge (Eigenlicht oder auch reflektiert).

b)      Mit einem Teleskop sieht man viel mehr. Mit einem 8-m-Teleskop, im Vergleich zur bloßen Pupille von 4 mm, und mit einer Belichtungszeit von 8 Stunden (statt die 1/20 Sekunde des Auges) und mit der Quantenausbeute eines CCDs von 80% (das Auge erreicht nur etwa 1%) gibt es einen Steigerungsfaktor von
(8000/4)2 x (8x3600/(1/20)) x (80/1) = (4x106) x (0.57x106) x 80 = etwa 100 x 1012
für die Signalmenge. Da die Intensität des Lichtes mit dem Quadrat der Entfernung abnimmt, entspricht dies für die Entfernung einen Faktor 107. Man sieht mit dem 8-m-Teleskop und mit 8 Stunden Belichtungszeit etwa 100 Billionen mal so schwache Objekte, oder 10 Millionen mal so "weit" wie mit dem bloßen Auge. Alles immer abhängig davon, ob der Detektor genug Licht empfängt um zu einem erkennbaren Signal zu kommen. Bei allen kleineren Teleskopen ist der Faktor dementsprechend kleiner.

c)      Bei der Anwendung einer derartigen Berechnung ist zu beachten, dass über sehr große Entfernungen dicht beisammen stehende Objekte an der Himmelsphäre übereinander projiziert werden, so dass man sie unter Umständen nicht mehr gut erkennt. Auch kann das Licht durch interstellare Extinktion abgeschwächt werden. Deswegen ist in der Realität der oben berechnete Entfernungsfaktor kleiner.

 

7 Entfernung der Sonne

Keplersche Gesetze

3. Keplersches Gesetz: , dabei sind Ti die Umlaufszeiten zweier Planeten und ai ihre große Halbachsen (etwa der jeweilige Abstand des Planeten von der Sonne)

http://www.leifiphysik.de/web_ph12/grundwissen/12planeten/kepler3gravitat.htm

 

Aus dem 3. Keplerschen Gesetz kann man mit den Umlaufszeiten der Planeten die relative Entfernung der Planeten berechnen.

Bestimmung der Umlaufszeiten, siehe

http://www.leifiphysik.de/web_ph12/grundwissen/12planeten/umlaufzeit.htm

Lese:

http://www.leifiphysik.de/web_ph12/grundwissen/12planeten/astreinh/astronomeinh.htm

 

8 Entfernungen naher Sterne

Die Entfernungen d der nahen Sterne werden mit Hilfe der Trigonometrie bestimmt. Wegen des Umlaufs der Erde um die Sonne können wir nahe Sterne aus unterschiedlicher Richtung sehen. Ein naher Stern scheint sich im Jahresrhythmus vor dem Hintergrund der weit entfernten Objekte zu bewegen, die parallaktische Bewegung (siehe Abb. 4).

 (siehe)

 

http://www.rssd.esa.int/index.php?project=HIPPARCOS&page=Hyades 


zu 1) Lösungsvorschläge zu „Winkel“

c)      Lösungen zu 1c):
i)   


ii)  

iii) 

iv)
oder „kürzer“:
     


v)  
oder „kürzer“: 
     
vi) 


zweite Zeile:
vii)

viii)  

ix)

x)

xi)

xii)

xiii)


dritte Zeile:
xiv)

xv)

 

zu 2) Lösungsvorschläge zu „Parallaxe

zu g) und h) Winkelhöhe eines Menschen (1,70m) in 100 m Entfernung:  = 0,974005° 
und mit der Näherungsformel   = 0,974028°
Mensch in 10 km Entfernung (mit der Näherungsformel): 0,00974°=0,58’=35’’
Ein Haus über dem Bodensee, d.h. ein Gegenstand der Größe 30 m in 15 km Entfernung.
(mit der Näherungsformel): 0,114°

zu i) Wie weit ist ein Gegenstand der Größe 10 m entfernt, wenn er unter einem Winkel von 1’ erscheint? Ergebnis mit der Näherungsformel:

zu k) In welcher Entfernung kann man mit dem VLT-Spiegel einen Menschen sehen? Der Auflösungswinkel ist γ = 0,015’’ Die Näherungsformel ist genau genug:

d)     Wie groß muss ein Gegenstand sein, den man mit dem VLT-Teleskop auf dem Mond in 384 400 km Entfernung erkennen kann? . Man könnte also mit dem Teleskop ein Haus oder einen Laster auf dem Mond erkennen, falls man es oder ihn findet.

 

zu 4) Lösungsvorschläge zu „Winkeldurchmesser des Mondes“   

zu a) Mögliche Messergebnisse: aHandAuge = 67cm, dMondHand = 6mm

         Die Winkelhalbierende steht senkrecht auf dem Lineal, auf dem Mond. Damit gilt für den halben Winkel α:  oder

        

         Mit den Messergebnissen von oben erhalten wir: , d.h.  und

         . D.h. der Durchmesser des Mondes ist 0,9% der Mondentfernung.
Vergleiche: Entfernung des Mondes: 384400 km, Durchmesser. 3476 km : 0,904%